ユークリッドの素数無限の証明|リーマン予想の研究

ユークリッドの素数無限の証明

素数が無限にある、この証明ほど、素数の研究において重要な結論はいまのところ存在しません。

 

もし、存在するなら、それはリーマン予想を証明することか、
ユークリッドも求めたであろう「完全なる素数の数列の公式化」に他ならないのです。

 

 

では、われわれ、日本人が使っている数学の中学校までの教科書の概論を作ったという
ユークリッドにこの証明についての方法を尋ねてみましょう。

 

 

1-4

※かつてユークリッドの書物は弟子によってギリシャ語によって記録が残され、現代に受け継がれている

 

 

ユークリッドは世界で初めてといわれる「背理法」という証明で素数が無限であることを示しました。この方法は、「素数が有限だと仮定する、そうすると、この仮定は絶対に成り立たない。だから素数は無限である」という証明の方法なのです。

 

では、素数を有限と仮定してみましょう。

 

 

2,3,5,7,11,13,17・・・

 

とつづいて、素数は有限だとしたら、いつかある最大の素数Pで素数の数列は終わってしまいます。
そうなると、どういうことが起こるでしょうか?

 

 

ある数Pより先は、もう素数は存在しないため、複素数(合成数)しかないことになります。
合成数とは素数と素数を掛け合わせた数です。

 

 

自然界に存在する自然数には0、1、素数、合成数の4つから成り立っているということが出来ます。自然数とは負の数、分数、少数など自然界に存在しない概念の数を取りあつかわない学問です。

 

では、その自然数で最大の素数Pより、本当に素数は存在しないのでしょうか?

 

 

ユークリッドは次の方法を考えました。

 

1、 素数Pを最大の素数だと、それより大きな素数は素数が有限である限り存在しない
2、 では、素数2から素数Pまでのすべての素数を掛け合わせたらどうなるか?
3、 素数2×3×…Pを掛け合わせた数をCとする
4、 ではこのCに1を加えた数C+1はどのような数字で割り切ることが出来るであろうか?
5、 Cはあらゆる素数で割り切れる公倍数となるはずである。その数に1を加えてしまうと、最小の素数が2であることからも歴然のように、C+1を割る数が存在しなくなってしまう。
6、 結論としてそのC+1は、あらゆる素数で割ることが出来ないため、エラトステネスのふるいから考えるなら、素数であるといえる。
7、 そうなると、素数を有限と仮定するのは間違いである。よって、素数は無限と結論づけられる。

 

 

上記が素数は無限であるという、ユークリッドの主張であり、これはあまりに完璧な証明である。もし、素数が無限であるという仮定から出発していたら、人類はいまだ素数を無限に存在するという風に示せたか疑問が残るところです。

 

 

これが、素数の謎、大いなる人類の英知、リーマン予想を知るための第一歩となるのです。

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